Μαθηματικά!

Gellert έγραψε:Σε αυτο εχεις δικιο, δηλαδη η θεωρια ειναι πιο κατανοητη στη Φυσικη. Αλλα οι ασκησεις της Φυσικης απαιτουν πιο συνθετη σκεψη. 

Δεν έχεις δει "καλές" ασκήσεις μαθηματικών, γι'αυτό το λες.

Κοιτα η αληθεια ειναι πως σαν επιστημες δεν μπορω να τις κρινω, μιας και δεν είμαι μαθηματικος, ουτε φυσικος να έχω μια ορθή επιστημονικη αποψη Αλλα αν συγκρινεις τα δυο αυτα μαθηματα της Γ Λυκειου, πιστευω πως τα μαθηματικα ειναι πιο "βατα" σε σχεση με την φυσικη. Δηλαδη το δυσκολοτερο κεφαλαιο (Ολοκληρωματα) στα Μκ, είναι μακράν πιο προσιτο απο το αντιστοιχο της Φυσικης (Μηχανικη στερεου σωματος)

Μάζεψαν αντιπροσώπους από τους Μαθηματικούς, τους Φυσικούς και τους Χημικούς και τους έδωσαν το εξής πρόβλημα. Πως θα μπορέσουν να ανοίξουν μια σφραγισμένη κονσέρβα;
Πρώτοι είπαν θα ξεκινήσουν οι φυσικοί. Κλείστηκαν μέσα σ" ένα μεγάλο αμφιθέατρο και άρχισαν να ψάχνουν τη λύση. Ύστερα από ένα μισάωρο, βγήκαν όλοι χαρούμενοι και φώναζαν: Βρήκαμε τη λύση, βρήκαμε τη λύση! Τους ρώτησε τότε η επιτροπή ποια ήταν η λύση που έλεγαν, και οι φυσικοί απάντησαν:
Θα θέσουμε την κονσέρβα σε περιστροφική κίνηση γωνιακής ταχύτητας 20m/sec. Καθώς θα στριφογυρίζει, θα τη βομβαρδίσουμε με σωματίδια ζήτα, με αποτέλεσμα να λιώσει το μέταλλο και να μην πάθει τίποτα απολύτως το περιεχόμενο της κονσέρβας. Πολύ ωραία , είπαν οι κριτές, ας δοκιμάσουν οι χημικοί τώρα . Πράγματι μπήκαν οι χημικοί στο αμφιθέατρο και προσπαθούσαν να λύσουν με τη σειρά τους κι αυτοί, αυτό το δύσκολο πρόβλημα. Όπως
και οι φυσικοί, έτσι και οι χημικοί μετά από κάνα μισάωρο βγήκαν κι αυτοί με χαρές και πανηγύρια και φώναζαν:
Το βρήκαμε! Το βρήκαμε! Τους ρώτησε κι αυτούς η επιτροπή για τη λύση. Και οι χημικοί έδωσαν την εξής απάντηση:
Θα βάλουμε την κονσέρβα μέσα σ" ένα κουβά με νερό. Θα προσθέσουμε μια χημική ένωση του σιδήρου και θα βάλουμε και ηλεκτρόδια από βανάδιο. Θα εφαρμόσουμε τάση 200 μVolt ανάμεσα στα ηλεκτρόδια με αποτέλεσμα να διαλυθεί το μέταλλο. Στο μεταξύ θα έχει εξατμιστεί και το νερό, οπότε μας μένει μόνο το περιεχόμενο της κονσέρβας καθαρό και έτοιμο για φάγωμα. Πάρα πολύ ωραία , είπαν οι κριτές, για να δούμε όμως και τους μαθηματικούς . Μπήκαν και οι μαθηματικοί στο αμφιθέατρο και άρχισαν να συζητούν το πρόβλημα. Έμειναν μέσα στον αμφιθέατρο τρεις και μισή ώρες και οι κριτές είχαν αρχίσει να ανησυχούν. Ύστερα από τρεις και μισή ώρες συνεχόμενης σύσκεψης, βγήκαν επιτέλους οι μαθηματικοί καταϊδρωμένοι,
κουρασμένοι, ξεθεωμένοι, φωνάζοντας:
Επιτέλους το βρήκαμε! Επιτέλους! Και πριν προλάβει να τους ρωτήσει η επιτροπή, αυτοί άρχισαν να μιλάνε:
Είχαμε τη λύση μπροστά μας και δεν τη βλέπαμε! Η λύση που βρήκαμε ήταν τόσο απλή στη χρήση αλλά και τόσο δύσκολη στη σύλληψη! , Λοιπόν; τους ρώτησαν οι κριτές, ποια είναι αυτή η λύση; Και οι μαθηματικοί είπαν:
Έστω μια ανοιχτή κονσέρβα...    

^Δεν μπορούν απλά να πάρουν ένα ανοιχτήρι ?  

Όχι, απαγορεύεται , πρέπει να το κάνουν με ότι τους μαθαίνει η ειδικότητά τους! 

Λοιπόν, καιρό να ζωντανέψουμε λίγο τα μαθηματικά, καιρός ήταν!! 
Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι α = β και με μια σειρά συνεπαγωγών καταλήγουμε στο αποτέλεσμα ότι 2 = 1.
Που βρίσκεται το λάθος;

α = β <=>
α2 = αβ <=>
α2 - β2 = αβ - β2 <=>
(α+β)(α-β) = β(α-β) <=>
α + β = β <=>
2β = β <=>
2 = 1

και.....

Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 300 δρχ. δίνοντας 100 δρχ. ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι στοιχίζει 295 και όχι 300 δρχ. και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 δρχ. ρέστα.
Αυτοί αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ. στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1 δρχ. και δίνουν 2 δρχ. φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 100 δρχ. και πήρε μία πίσω, άρα 99 δρχ. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2 δρχ. για το φιλοδώρημα, 299. Τι έγινε η μία δραχμή;

Επίσης, ένα δικό μου πράγμα που θέλω απάντηση. Στο σχολείο είμαστε στα Μονώνυμα ακόμα, εγώ όμως στον ελεύθερό μου χρόνο έχω πάει και μέχρι την παραγοντοποίηση, και τις εξισώσεις β' βαθμού, πήγα και στις κλασματικές εξισώσεις αλλά εκεί, πως βρίσκω τα Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των παρονομαστών που είναι ανόμοιοι και είναι διώνυμα ή τριώνυμα;; Το 'εχω διαβάσει στο βιβλίο, αλλά δεν το καταλαβαίνω, και θέλω να μου δείξει κάποιος πως μπορούμε να το επιτύχουμε αυτό, με παραδείγματα, π.χ. πως βρίσκω το Ε.Κ.Π. των: χ^2-χ, χ^2, χ για παράδειγμα, με ποια τεχνική;;

Για το ΕΚΠ και το ΜΚΔ.
1ο)Μετατρέπουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές σε γινόμενο.
Στο δικό σου παράδειγμα είναι: x(x-1) , x^2 , x

2o)Το EKΠ αποτελείται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Δηλαδή ΕΚΠ= x^2(x-1)

(οι παράγοντες που έχουμε είναι δύο: 1) το x, με εκθέτη το 1 και το 2 δηλαδή x και x^2   2)το x-1 με εκθέτη το 1. Βάζουμε και τους 2 παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη...)

3ο) O MKΔ αποτελείται από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.

Ο κοινός παράγοντας είναι μόνο το x. O μικρότερος εκθέτης του είναι το 1.Άρα ΜΚΔ=x

Άλλο παράδειγμα πολύ πιο σύνθετο. Για τις παραστάσεις:
Α=12yx^3-12xy^3
B=16x^4-16y^4
Γ=20  x^3 (x-y)^2  να βρεθεί το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ

Η Α ως γινόμενο γίνεται: 2^2 * 3xy(x-y)(x+y)
Η Β ως γινόμενο γίνεται: 2^4 * (x^2+y^2)(x-y)(x+y)
Η Γ ως γινόμενο γίνεται: 2^2 * 5* x^3 (x-y)^2

Με την ίδια λογική:
ΕΚΠ= 2^4*3*5*x^3* y*(x-y)^2*(x+y)* (x^2+y^2) (κάθε παράγοντας με το μεγαλύτερο εκθέτη )
ΜΚΔ= 2^2 (x-y) (κοινοί παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη)

Δεν ξέρω κατά πόσο φαίνονται αυτά που γράφω  

Τα άλλα τα ξέρω οπότε ας πει κάποιος άλλος

Μια χαρά φαίνονται αλλά καλά θα ήταν να μπορούσαμε να γράφουμε με εκθέτες χωρίς τα ^

Έλα όλοι τα ξέρουμε αλλά είναι πόρωση  

1:

2:

Arcturus Regulus Black έγραψε:Για το ΕΚΠ και το ΜΚΔ.
1ο)Μετατρέπουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές σε γινόμενο.
Στο δικό σου παράδειγμα είναι: x(x-1) , x^2 , x

2o)Το EKΠ αποτελείται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Δηλαδή ΕΚΠ= x^2(x-1)

(οι παράγοντες που έχουμε είναι δύο: 1) το x, με εκθέτη το 1 και το 2 δηλαδή x και x^2   2)το x-1 με εκθέτη το 1. Βάζουμε και τους 2 παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη...)

3ο) O MKΔ αποτελείται από τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.

Ο κοινός παράγοντας είναι μόνο το x. O μικρότερος εκθέτης του είναι το 1.Άρα ΜΚΔ=x

Άλλο παράδειγμα πολύ πιο σύνθετο. Για τις παραστάσεις:
Α=12yx^3-12xy^3
B=16x^4-16y^4
Γ=20  x^3 (x-y)^2  να βρεθεί το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ

Η Α ως γινόμενο γίνεται: 2^2 * 3xy(x-y)(x+y)
Η Β ως γινόμενο γίνεται: 2^4 * (x^2+y^2)(x-y)(x+y)
Η Γ ως γινόμενο γίνεται: 2^2 * 5* x^3 (x-y)^2

Με την ίδια λογική:
ΕΚΠ= 2^4*3*5*x^3* y*(x-y)^2*(x+y)* (x^2+y^2) (κάθε παράγοντας με το μεγαλύτερο εκθέτη )
ΜΚΔ= 2^2 (x-y) (κοινοί παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη)

Δεν ξέρω κατά πόσο φαίνονται αυτά που γράφω  

Τα άλλα τα ξέρω οπότε ας πει κάποιος άλλος

Νομίζω το κατάλαβα, θα κάνω εξάσκηση και μόνος μου και πιστεύω ότι το' χω, ευχαριστώ πολύ πάντως!

Χθες βρήκα κάποιες μαθηματικές αποδείξεις που αποδεικνύουν ότι το 0,9999.....=1. Για παράδειγμα:
1/9=0,111111111...... =>
9 Χ 1/9= 9 Χ 0,111111111.......=>
1=0,999999999......

0,99999.....=0,999999.....
9 Χ 0,999999.....= 9 Χ 0,9999999.....
9 Χ 0,999999.....=(10-1) Χ 0,9999999....
9 Χ 0,999999.....=9,9999999..... - 0,99999999.....
9 Χ 0,999999.....= 9
Διαιρούμε κάθε μέλος με το 9 και ...... 0,9999999......= 1

α=0,999999.....
10α= 9,9999999.....
10α - α= 9,9999999...... - 0,9999999.....
9α=9
α=1

Εγώ πιστεύω σε αυτές τις αποδείξεις,είναι σωστές και στέκουν, βέβαια όταν τις έδειξα σήμερα στην παλιά μου μαθηματικό που είναι της παλιάς σχολής φάνηκε να δυσπιστεί και δεν τις πίστεψε, αλλά εντάξει!

Κι ένα άλλο!:

Υποθέτουμε ότι α=1 και β=1, για τις τιμές αυτές ισχύει η ισότητα : β^2=αβ (1)
Εφόσον το α ισούται με τον εαυτό του: α^2=α^2 (2)
Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) ,(2) και παραγοντοποιούμε τα δυο μέλη:
(2)-(1): α^2 -β^2=α^2 –α^β ή (α –β)(α+β)= α(α–β) (3)
Διαιρούμε κατά δυο μέλη με τον παράγοντα α-β και προκύπτει:



Αρχικά όμως υποθέσαμε ότι β=1 οπότε προκύπτει 0=1 (4)

Γνωρίζουμε ότι έχω ένα κεφάλι αλλά από την ισότητα (4) ένα ίσον κανένα οπότε δεν έχω κεφάλι .Δεν έχω κανένα μίσχο με φύλλα αλλά από την ισότητα (4) έχω ένα μίσχο με φύλλα.
Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της ισότητας (4) με το 2 και έχουμε 0=2 (5)
Έχω δυο χέρια αλλά 2=0 όποτε δεν έχω χέρια .Ομοίως αποδεικνύουμε ότι δεν έχω δυο πόδια.
Τώρα ποιο είναι το χρώμα μου. Γνωρίζουμε ότι το λευκό φως πέφτει στα αντικείμενα και αυτά απορροφούν κάποια μήκη κύματος και ανακλούν άλλα ,αυτά που ανακλούν δίνουν τον χρωματισμό του αντικείμενου. Έτσι το φως πέφτει πάνω μου και εγώ επανεκπέμπω φωτόνια. Ας πάρουμε οποιοδήποτε από αυτά τα φωτόνια. Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα 0=1 με το μήκος κύματος των φωτονίων που εκπέμπω, και προκύπτει:
(Μήκος κύματος φωτονίου μου)=0 (6) .
Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα (6) με το 640 και προκύπτει.
640=0 (7)
Από την (7) και την (6) προκύπτει:
(Μήκος κύματος φωτονίου μου)=640 nm
Από την τελευταία ισότητα αντιλαμβανόμαστε ότι το κάθε φωτόνιο που εκπέμπω έχει μήκος κύματος 640 nm άρα το χρώμα μου είναι πορτοκαλί. Ανακεφαλαιώνουμε:
Δεν έχω κεφάλι, χέρια,πόδια έχω μίσχο με φύλλα και είμαι χρώματος πορτοκαλί άρα είμαι σίγουρα καρότο.
Όλα αυτά γιατί διαιρέσαμε με τον όρο α-β που ισούται με μηδέν.

Jake21 έγραψε:

Σπόιλερ:

Αυτό είναι ένα μεγάλο θέμα.
Στο πλαίσιο της εισαγωγικής άλγεβρας και των αποδοχών που κάνουμε μέχρι το πανεπιστήμιο λέμε άνετα πως ισχύει 0,999... =1 και προκειμένου να γίνει αντιληπτό γιατί συμβαίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τις παραπάνω "αποδείξεις". Μια άλλη είναι πως 1/3= 0,333... και 1=3* 0,333... = 0,999...

Πανεπιστημιακά το θέμα έχει μεγάλο βάθος και βασίζεται στη θεμελίωση του απείρου και του συνόλου R.Οι παραπάνω αποδείξεις δε, ελάχιστο φως ρίχνουν στο πως 2 διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις υποδεικνύουν τον ίδιο αριθμό. Oι περισσότεροι κλάδοι των μαθηματικών αποδέχονται αυτήν την ισότητα(όχι όλοι όμως) αλλά δεν χρησιμοποιούν αυτές τις αποδείξεις.Η ποσότητα 0,999… δεν είναι αριθμός αλλά ένα σύμβολο που αναπαριστά την τιμή ενός ορίου μιας ακολουθίας ρητών αριθμών. Ουσιαστικά οι αποδείξεις αποδέχονται τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου (όταν για κάθε ε>0 το x πλησιάζει κοντά στο x_ο απείρως και χωρίς περιορισμό τότε x και x_o είναι ισοδύναμοι.)
Αντιγράφω από το βιβλίο Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός του Tom Apostol:
''Το ότι ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να έχει δύο διαφορετικές δεκαδικές παραστάσεις οφείλεται στο γεγονός ότι δυο διαφορετικα σύνολα πραγματκών αριθμών μπορούν να έχουν το ίδιο ελάχιστο άνω φράγμα. Πχ. 1/8=0.125000... αλλά και 1/8=0,124999..."

Αντίθετα στο βιβλίο non-standard analysis του Abraham Robinson υποδηλώνεται ότι ο συγκεκριμένος κλάδος δεν αποδέχεται αυτή την ισότητα.

Με τις σχολικές γνώσεις είναι δεκτές και οι αποδείξεις και η ισότητα.

Ναι, βασικά από την μία λες, πως;; αφού δεν είναι ίδια, αλλά από την άλλη βλέπεις την ολόσωστη απόδειξη και τρελαίνεσαι!! Εγώ αντέγραψα τις αποδείξεις από το βικιπαίδεια! Σ'ιγουρα αποτελεί μπέρδεμα και θέμα με βάθος, αλλά όπως είπες κι εσύ προς το παρόν θα τα θεωρώ ίσα! 

Μπορεί κανείς να μου εξηγήσει πως λύνονται αυτες οι εξισώσεις?(β γυμνασίου)

α)-3x+4=7x-6

β)-9+7y+y=1-2y

γ)2x+21=4+x-5

δ)2(x+5)+3x-5=-4(1-x)+10

Severus.Snape έγραψε:Μπορεί κανείς να μου εξηγήσει πως λύνονται αυτες οι εξισώσεις?(β γυμνασίου)

α)-3x+4=7x-6

β)-9+7y+y=1-2y

γ)2x+21=4+x-5

δ)2(x+5)+3x-5=-4(1-x)+10

Χωρίζεις γνωστούς από αγνώστους. Πχ βάζεις τις μεταβλητές με τους συντελεστές τους πριν το = και τους αριθμούς μετά. Μη ξεχνάς να αλλάξεις τα πρόσιμα αν αλλάζεις σκέλος.

α)-3χ+4=7x-6 => -3x-7x=-6-4 => 10x=10 => x=1
b) -9+7y+y=1-2y => 8y+2y=1+9 => y=1....

Και μην ξεχάσεις στο δ' να κάνεις πρώτα τις επιμεριστικές.
2(x+5)+3x-5=-4(1-x)+10 -> 2x+10+3x-5=-4+4x+10 και μετά 2x+3x-4x=-4+10-10+5

Εμένα η άλγεβρα μου αρέσει, σε αντίθεση με την γεωμετρία.!

χ * χ + 1 < 0 λύσε την ανίσωση!   

Σήμερα ένα θέμα στον Ευκλείδη έλεγε: Έστω δύο θετικοί ακέραιοι χ, ψ μα χ>ψ , έχουν άθροισμα 2014. Η διαίρεση του μεγαλύτερου με τον μικρότερο έχουν πηλίκο ω και υπόλοιπο 97. Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές των χ, ψ και ω.

Μπορεί κάποιος μεγαλύτερος ή συνομίληκος να το λύσει με σιγουριά για να δω αν το έχω κάνει σωστό;;

x>2012 , y<2012

x+y=2014
x=ωy+97 => 2014-y=ωy+97 => y(ω+1)=1917 =3^3 * 71

Από εδώ και πέρα είναι απλό...y= 71*9 , ω+1=3 / y=71*3 , ω+1=9 / y=71 , ω+1=27
Και τα αντίστροφα και βλέπουμε ποια είναι δεκτά.

Ααααα, εγώ τα σκάτωσα τότε!  Έγραψα: χ+ψ = 2014 , ψω + 97 = χ 

ψω + 97 = χ . Εφόσον χ θετικό, 97 σαφώς θετικό, ψω πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 97, ώστε να μην υπάρχει πιθανότητα να μηδενιστεί ή να γίνει αρνητικό το αποτέλεσμα, κάτι που θα ερχόταν σε αντίφαση με το χ>0 . Οπότε λέω, ψω > 97 => ω>97/ψ . Άρα αν βρω τις τιμές του ψ, θα βρω και αυτές του ω. Έτσι πήρα να βρω δυνατές τιμές του ψ. 

Κι έκανα: ψω + 97 = χ 
ψω + 97 = 2014 - ψ
ψω + ψ = 1917
ψ(ω + 1)=1917
ω + 1= 1917/ψ
ω = 1917/ψ -1

Έτσι πήγα στην ανίσωση ω>97/ψ και αντικατέστησα. 
1917/ψ -1 > 97/ψ
(1917 - ψ)/ψ > 97/ψ
ψ(1917 - ψ) > 97ψ
1917ψ - ψ^2 > 97ψ
1820ψ>ψ^2
1820>ψ

Άρα λέω το ψ μικρότερο του 1820. 2014-1820=194. Που σημαίνει ότι χ μεγαλύτερο του 194 για να ισχύει το ψ<1820. Επόμενως και η ανίσωση ω>97/ψ : το ω λοιπόν μπορεί να πάρει μέγιστη τιμή το 97/1819, αφού ψ<1820. Άρα ω μικρότερο ή ίσο με 97/1819. Που είναι το λάθος στον συλλογισμό;; ://

Dragon The Grey έγραψε:Ααααα, εγώ τα σκάτωσα τότε!  Έγραψα: χ+ψ = 2014 , ψω + 97 = χ 

ψω + 97 = χ . Εφόσον χ θετικό, 97 σαφώς θετικό, ψω πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 97, ώστε να μην υπάρχει πιθανότητα να μηδενιστεί ή να γίνει αρνητικό το αποτέλεσμα, κάτι που θα ερχόταν σε αντίφαση με το χ>0 .

Τι εννοείς να μη γίνει αρνητικό το αποτέλεσμα; Ποιο αποτέλεσμα θα γινόταν αρνητικό; Μόνο με θετικούς ακέραιους δουλεύουμε. Δεν έχει σημασία να το γράψεις.

Dragon The Grey έγραψε:Κι έκανα: ψω + 97 = χ 
ψω + 97 = 2014 - ψ
ψω + ψ = 1917
ψ(ω + 1)=1917
ω + 1= 1917/ψ
ω = 1917/ψ -1

Αυτό το έκανα και εγώ.
Από εκεί και κάτω ότι έκανες δεν έχει σημασία για την επίλυση και ένα μέρος είναι και λογικό λάθος.

1) Κατέληξες στο ότι χ μεγαλύτερο του 194. Αυτό το ξέραμε απ την αρχή αφού x+y=2014 και χ>ψ .Αυτό σημαίνει πως χ>1012 όχι απλά μεγαλύτερο του 194 που λες.Το έγραψα πρώτο πρώτο. (το χ>2012 που γράφω στο προηγούμενο ποστ είναι 1012 οχι 2012...)

2)Από το ψ<1820 και ψω>97 δεν προκύπτει από πουθενά η μέγιστη τιμή του ω. Μόνο η ελάχιστη τιμή του ω... αλλά και αυτό δεν χρειάζεται.

Στο πρώτο εννοώ ότι μας λέει πως μόνο το χ, ψ είναι θετικοί. Το ω δεν ξέρουμε, γι' αυτό αν το ψω είναι μικρότερο του 97, μπορεί να πάρει αρνητική τιμή και αν τέλει να γίνει αρνητικό το αποτέλεσμα, κάτι που θα ερχόταν σε αντίφαση με το χ>0. Αυτό εννοώ. Αλλά εντάξει, σίγουρα λογικά αυτό που λες εσύ θα είναι το σωστό. Αλλά αν είμαι τυχερός μπορεί ν πάρω καμιά μονάδα από τον εξεταστή!  

Μα το ω είναι το πηλίκο δύο θετικών αριθμών, πως θα έβγαινε αρνητικό;

Το ω δεν μπορεί να πάρει αρνητική τιμή για πολλούς λόγους με κυριότερο το ότι διαιρείς ένα θετικό ακέραιο με ένα θετικό ακέραιο .  

Hecate έγραψε:Μα το ω είναι το πηλίκο δύο θετικών αριθμών, πως θα έβγαινε αρνητικό;

γουάτ δε φακ; 0 εις το πηλίκο!   Μπράβο μου!    Ευχαριστώ πάντως, τώρα είμαι σίγουρος ότι έγραψα μπίκο!