Μαθηματικά!

Το τόπικ αποτελεί ιδέα του Tom Marvolo Riddle, που αποφασίσαμε να εφαρμόσουμε από κοινού


Εδώ θα μπορείτε να εκφράζετε οποιαδήποτε απορία σας πάνω σε μια συγκεκριμένη άσκηση που σας δυσκολεύει, μια μεθοδολογία που δεν κατανοείτε ή ακόμη και μια υποκατηγορία στην ύλη σας, για την οποία χρειάζεστε εκ θεμελίων επεξήγηση. Το τόπικ καλύπτει όλες τις τάξεις... Γυμνάσιο/Λύκειο, Κατεύθυνση/Γενικής Παιδείας.


Επιπρόσθετα, μπορείτε να ποστάρετε ενδιαφέρουσες ασκήσεις που εντοπίζετε εκτός σχολικού βιβλίου, με στόχο να προβληματίσετε ευχάριστα όσους ενδιαφέρονται να βρουν τη λύση τους.


Το τόπικ δεν δημιουργείται απλά για να παραδίδονται έτοιμες λύσεις, αλλά για να αλληλοβοηθηθούμε στην ανάπτυξη της μαθηματικής μας σκέψης.


Όπως είπε και ο Αϊνστάιν: "Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas"

Θα περιμένουμε τη συμβολή σας στο τόπικ! Ρωτήστε και δώστε και εσείς οι ίδιοι απαντήσεις ελεύθερα!


Θα κάνω την αρχή με ένα θεματάκι μαθηματικών κατεύθυνσης το οποίο το έλυσα, αλλά δεν είμαι σίγουρος για τη λύση, τουλάχιστον δεν είναι τόσο κομψή όσο θα ήθελα να είναι
Απευθύνεται σε παιδιά 3ης και άνω :

Λεπόν, λέει:
Να αποδείξετε ότι lnημχ + συν2χ - 1 < 0 για κάθε χ στο (0,π)
Ξεκινάω κατά τα γνωστά, θέτοντας f(x)=lnημχ + συν2χ - 1
f'(x)=4συνχ/ημχ-2ημ2χ=4συνχ/ημχ-4ημχσυνχ=4συνχ(1/ημχ-ημχ)
Αφου 4συνχ>0 για κάθε χ στο (0,π), πρέπει να βρούμε το πρόσημο της (1/ημχ-ημχ)

έστω g(x)=1/ημχ - ημχ
g'(x)= -συνχ/ημ²χ-συνχ= -συνχ(1+1/ημ²χ)
προφανής g(π/2)=0
g'(x) < 0 άρα g φθίνουσα στο (0,π)
οπότε για χ<π/2 θα είναι g(x)>g(π/2) δηλ. g(x)>0
και για χ>π/2 θα είναι g(x)<0

άρα f'(x)>0 για κάθε χ<π/2, δηλαδή f αύξουσα στο (0,π/2]
και f'(x)<0 για κάθε χ>π/2, δηλαδή f φθίνουσα στο [π/2,π)

Εδώ έχουμε το εξής:
f(π/2)=-2
και βάσει της μονοτονίας για κάθε διάστημα, είναι:

Κώδικας:


για χ<π/2, f(x)<f(π/2) δηλαδή f(x)< -2
για χ>π/2, f(x)<f(π/2) δηλαδή f(x)< -2

Αυτό που αποδείχτηκε είναι πως για κάθε χ που ανήκει στο (0,π), η f(x) θα είναι μικρότερη απ' το -2, και άρα προφανώς μικρότερη απ' το 0. Δεν μ' αρέσουν όμως οι έμμεσες αποδείξεις, μήπως αν έθετα στην αρχή κάποια άλλη συνάρτηση θα μου έβγαινε ξεκάθαρα το 0 στο δεύτερο μέλος;
Έβαλα το συμπέρασμα σε κώδικα γιατι το διάβαζε λάθος

Ααα τι ειναι αυτο??
Αυτα θα κανουμε στης πρωτη λυκειου?

Εγω δεν εχω καποια απορια προς το παρον αλλα ηθελα να ποσταρω για να παροκολουθω το θεμα

Όχι εγώ είμαι τρίτη λυκείου

Αχ,τι ωραία.Μαθηματικά !
Λέτε να αξίζει το 19αρι στο Α' τρίμηνο;

Εγώ θα σας βοηθάω μόνο μέχρι την Α' Γυμνασίου(άντε,βάλε και Β' ).

Tom Marvolo Riddle έγραψε:Όχι εγώ είμαι τρίτη λυκείου

Αυτο ηθελα να πω
Αλλα οταν δεν ξερεις ελληνικα δεν προσεχεις τι γραφεις αυτα γινοται.

Λευτερη αρχιζω να αγχωνομαι.
Αχ τι μας περιμενει....!

Λοιπον.... Αρχιζω στο φροντ την ύλη της τριτης σε λίγες μέρες...
Ειπαν θα αρχισουμε από μυγαδικούς.

Τι να περιμενω;
Και γενικα.. Λεγωντας "μυγαδικος αριθμος" τι εννοουμε;;

Να μην αγχώνεσαι καθόλου, τα μαθηματικά της τρίτης θέλουν καθαρό μυαλό, καλή καρδιά και γερά νεύρα Ή κάτι απ' όλα αυτά τέλος πάντων

Οι μιγαδικοί στην ύλη της τρίτης είναι το σίγουρο 2ο θέμα. Βασικά με εξαίρεση μία χρονιά, που είχαν μπει 4ο, δεν έχει υπάρχει χρονιά που το 2ο θέμα να μην έχει μιγαδικούς. Οπότε όποιος θέλει να γράψει πρέπει να τους παίζει στα δάχτυλά. Αυτό σκέφτηκε και το υπουργείο μάλλον και τους απλοποίησε σε μεγάλο βαθμό, κράτησε μέσα μόνο δύο κεφάλαια.

Πριν ορίσει κάποιος τους μιγαδικούς, απαραίτητο είναι να ορίσει τους φανταστικούς, αλλά ακόμα πιο πριν πρέπει να περιγράψει τα πραγματικά σύνολα

Ο άνθρωπος επινόησε το σύνολο των φυσικών αριθμών για να μπορεί να λύσει εξισώσεις του είδους:
x-2=0
Ν={0,1,2,3...}

Στη συνέχεια είδε πως η λύση της εξίσωσης x+2=0, δηλαδή το x=-2 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο και όρισε το σύνολο των ακεραίων:
Z= {...-2, -1, 0, 1, 2, ...}

Και πάλι όταν συνειδητοποίησε ότι δεν ήταν σε θέση να λύσει με αυτούς τους αριθμούς εξισώσεις του τύπου: 2x+3=0 επινόησε το σύνολο των Ρητών, Q, δηλαδή όλων των αριθμών που μπορούν να πάρουν κλασματική μορφή (υπερσύνολο των 2 προηγούμενων).

Τέλος, για να συμπεριλάβει τους άρρητους αριθμούς, δηλαδή τους αριθμούς που δεν μπορούσαν να γραφτούν σαν κλάσμα και δεν ήταν περιοδικοί, όρισε το σύνολο των πραγματικών R.
Όλοι οι αριθμοί που μαθαίνουμε μέχρι την 2α λυκείου ανήκουν στο R. Πρακτικά και οι αριθμοί της τρίτης ανήκουν στο R, απλά υπάρχει η μοναδική μικρή εξαίρεση, το κεφάλαιο των μιγαδικών..

Προχωρώντας στο ίδιο σκεπτικό, ο άνθρωπος συνειδητοποίησε πως δεν ήταν σε θέση να λύσει εξισώσεις της μορφής
x²+2=0. To x² πρέπει να ισούται με -2 και ως εκ τούτου, το x με τετραγωνική ρίζα του -2. Την εποχή που ανακαλύφθηκε αυτό δεν επινοήθηκαν αμέσως οι μιγαδικοί, για αιώνες οι άνθρωποι προσποιούνταν πως δεν υπάρχει λύση στην συγκεκριμένη εξίσωση.

Κάποτε ήρθε η στιγμή να επινοηθεί το i, (γιοτ) το οποίο βαφτίστηκε φανταστική μονάδα. Της δώσαμε την ιδιότητα το τετράγωνό της να ισούται με -1, δηλαδή
i²=-1
Διαισθητικά αυτό είναι αδύνατο να το αντιληφθούμε γιατί δεν γνωρίζουμε στη φύση κανέναν αριθμό που όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του, να μας δίνει αρνητικό αποτέλεσμα. Αυτό είναι γεγονός, όμως πρέπει να θυμόμαστε πάντα ότι ο γιοτ δεν είναι μονάδα που συναντάμε στη φύση. Μπορούμε να πούμε "ένα αυγό", όμως ποτέ δεν θα πούμε "γιοτ άνθρωποι". Αυτή είναι η πρακτική ερμηνεία του φανταστικού αριθμού.

Η ένταξή του στον μαθηματικό κόσμο μας οδήγησε στη λύση της εξίσωσης x²+2=0 (και φυσικά όλων των εξισώσεων του ίδιου είδους!)
Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε:
x²=-2 <=> x² = i²*2, και άρα ο x είναι ο αριθμός i, δεν εμφανίζεται καλά όμως είναι ο αριθμός (ριζα δύο) επί γιοτ.

Έτσι τελειώσαμε με την έννοια του φανταστικού.

Μιγαδικό ονομάζουμε το πάντρεμα ενός πραγματικού με έναν φανταστικό αριθμό. Δηλαδή ο 15, πραγματικός αριθμός, όταν γνωριστεί και ερωτευτεί τον 4i, ο οποίος είναι φανταστικός αφού περιέχει την φανταστική μονάδα, δημιουργείται ο αριθμός 15+4i, ο οποίος ονομάζεται μιγαδικός.
Γενικότερα, αν α, β πραγματικοί και i η φανταστική μονάδα, ονομάζουμε μιγαδικό κάθε αριθμό της μορφής α+βi.

Και αυτή ήταν η θεωρία του πρώτου μαθήματος Καλά με καθηγητή θα είναι πιο κατανοητό

Από εκεί και πέρα ξεκινάνε ιδιότητες μιγαδικών, πράξεις με μιγαδικούς και άλλα τέτοια πράγματα. Δεν είναι κάτι το ανησυχητικό, μην το φοβάσαι καθόλου και στο λέω εγώ που τους μιγαδικούς τους θεωρούσα το πιο χαζό κεφάλαιο στην ύλη

Ελπίζω να βοήθησα! Ό,τι άλλο χρειαστείς να ρωτήσεις! Με βοηθάς και στην επανάληψη!

Λευτέρη το 'χεις σκεφτεί για εκπαιδευτικός;

Όχι, αν πάω στο μαθηματικό τελικά θα προτιμήσω τα αμιγή μαθηματικά και την έρευνα

Ασ' τα αυτά όμως! Πως σου φάνηκαν οι μιγαδικοί πες μας!

Πολύ ωραία τα λες Λευτέρη...

Εμείς έχουμε ξεκινήσει εδώ και μερικές βδομάδες την ύλη της τρίτης. Ξεκινήσαμε με συναρτήσεις.... Πολύ ωραία φαίνονται και άμα έχεις όρεξη γίνονται παιχνιδάκι..

Σίμο ένα θα σου πω, και προς Θεού δεν θέλω να θεωρηθεί πως κάνω διαφήμιση.

Αναστάσιος Χ. Μπάρλας :blasé: Εμπιστέψου τον, πάρε τα βοηθήματά του όποιο κι αν σας πουν να πάρετε το φροντιστήριο Μόνο καλό θα σου κάνουν

Tom Marvolo Riddle έγραψε:
Ασ' τα αυτά όμως! Πως σου φάνηκαν οι μιγαδικοί πες μας!

1ον, τα κατάλαβα. Τα έλεγα σήμερα στη φίλη μου, τα ξαναδιάβασα στην περιγραφή σου και ευτυχώς τα είπα σωστά. Άρα, τα 'χω χωνέψει.
2ον, δεν ξέρω γιατί αλλά μου φαίνονται πολύ τέλεια. Είναι κάτι εντελώς καινούργιο που σε κάνει να μένεις με ανοιχτό το στόμα, χαρούμενος.

Εγώ δεν πρόκειτα να ξεκινήσω ύλη της τρίτης μέχρι τον Ιούλιο.Μου το ξεκαθάρισε ο καθηγητής μου
Θα έχω πρόβλημα στο να βγάλω την ύλη εγκαίρως;

jate έγραψε:Εγώ δεν πρόκειτα να ξεκινήσω ύλη της τρίτης μέχρι τον Ιούλιο.Μου το ξεκαθάρισε ο καθηγητής μου
Θα έχω πρόβλημα στο να βγάλω την ύλη εγκαίρως;

Όχι βέβαια, μην αγχώνεσαι καθόλου! Βγαίνει Ιανουάριο, βαριά Φεβρουάριο και μετά ξεκινάνε οι επαναλήψεις

Λευτερη ΚΑΤΑΤΟΠΙΣΤΙΚΟΤΑΤΟΣ!!
Ευχαριστω παααααρα πολυ...
Όχι οτι δε μου φαινονται βουνο, αλλα τουλαχιστον μπηκαν σε μια σειρα


Και οντως ο Μπαρλας ειναι φοβερος... Μας ειπαν στ φροντ να παρουμε και φετος βοηθηματα του..

Μαθηματικά=Ζέφη=λατρεία!

Του χρόνου τα Χριστούγεννα ξεκινάω ύλη τρίτης στο ιδιαίτερο. Πανηγυράκι έχει να γίνει από ασκήσεις!
Είναι ιδιαίτερο +είναι η κυρία Ζέφη, οπότε θα με βασανίσει καλά και θα βγάλουμε τουλάχιστον 2 φορές επανάληψη την ύλη είμαι σίγουρη! Καλά από εξάσκηση δεν το συζητώ... Βασικά μου είπε πως εκτός από τον Μπάρλα που λύνω τώρα μαζί με έναν άλλο, νέο, τον Μαραγούσια νομίζω, θα έχω και δεύτερο βοήθημα το οποίο μου είπε ποιανού συγγραφέα είναι και λέει κιόλας ότι είναι καλύτερο του Μπάρλα που χαλάει λέει στο Λύκειο. Λέει επίσης πως οι ασκήσεις του είναι καλύτερες στο Γυμνάσιο... Ατάκα είχε γίνει πέρσυσ το τμήμα: "Ο φίλος μου, ο Μπάρλας. Να Λίζα ένας Μπάρλας. Θα του μιλήσω εγώ του φίλου μου του Μπάρλα" κτλ κτλ.
Οι μιγαδικοί φαίνονται τόσο τέλειοι, Λευτέρη τα λες υπέροχα.

Να της πεις πως καλύτερο βοήθημα απ' του Μπάρλα δεν υπάρχει Πέρυσι είχα πάρει απο περιέργεια του Σαββάλα και ένα ακόμα ψιλοάγνωστο, και από το καλοκαίρι Μπάρλα. Δεν υπάρχει σύγκριση τολμώ να πω! Αν και φυσικά ο Σαββάλας είναι εξίσου καλός, ο Μπάρλας για μένα είναι λιγάκι πιο περιεκτικός

Χμμμ κοιτάξτε, εγώ τους μιγαδικούς τους απεχθάνομαι Πολύ ξεκάρφωτο κεφαλαιάκι Γι' αυτό αντικειμενικά δεν τους εξήγησα όπως θα έπρεπε, έχουν και μία ωραία πλευρά που σας την έκρυψα (γιατί ούτε κι εγώ την έχω ανακαλύψει ακόμα )

Ανθή πως θα ξεκινήσεις ύλη τρίτης;; Πρέπει οπωσδήποτε να βγάλεις την άλγεβρα της 2ας πρώτα, τριγωνομετρία και πολυώνυμα

Λευτέρη, Μπάρλα έχουμα αλλά μας δίνει ασκήσεις και απο άλλα.
Όντως είναι πολύ καλός, αλλά εξίσου καλοί είναι και οι: Γεωργακίλας, Κλαπανάρης, Γκαντζούλης.

Λευτέρη με το ιδιαίτερο είμαστε πολύ μπροστά και βγαίνει άνετα... Γιατί είμαι μονάχους μονάχους και λύνω όσες μου βάζει(θεός φυλάξοι τόσες που είναι βέβαια! ) οπότε προχωράμε πολυυύ γρήγορα. Μου είπε βαριά Φεβρουάριο του χρόνου. Και βασικά, επειδή θέλω να το πω να το μάθει όλη η Ελλάδα, η Ζέφη δεν παίζεται! Πρέπει να σου κάνει ένα μάθημα! Δεν ξέρω πως θα γίνει αυτό, αλλά πρέπει!

Σίμο προφανώς ένας από τους παρακάτω θα είναι...

Δε ξέρω τι λέτε, πάντως την χρονιά που έδωσα Πανελλαδικές, για ΟΛΑ τα θέματα υπήρχε αντίστοιχη άσκηση στον Μπάρλα

Βρε δεν αντιλέγω... ό,τι μου λένε σας λέω.

anthian9 έγραψε:Και βασικά, επειδή θέλω να το πω να το μάθει όλη η Ελλάδα, η Ζέφη δεν παίζεται! Πρέπει να σου κάνει ένα μάθημα! Δεν ξέρω πως θα γίνει αυτό, αλλά πρέπει!

Όοοοοχι!Ο κύριος Γεράσιμος είναι ανώτερος όλων! Τον αγαπώ Και ξέρω και όλο του το σόι

Άλγεβρα και ΜΚ,έχω Σαββάλα και είμαι πολύ ευχαριστημένη.

Επίσης Χριστούγεννα,Πάσχα,πριν από διαγώνισμα και εξετάσεις,μου φέρνει ο κύριος Γεράσιμος ασκήσεις.
Βασικά πολλές ασκήσεις
Ίσως υπερβολικά πολλές
Μήπως να παραπονεθώ;

Διαφωνώ, η Ζέφη είναι! Βρε μήπως να τους παντρεύαμε;
Εντωμεταξύ είναι Αιγόκερως αυτή, αιγόκερως ο άντρας της, αιγόκερως η μικρή της, αιγόκερως εγώ, σου λέω δεν είναι τυχαίο που είναι θεά!

Πέρσυ και πρόπερσυ που έκανε μάθημα σε τμήμα στο φροντ μου, είχαμε γίνει όλοι ξεφτέρια. Ο Δημήτρης που ήταν του 6 έγραψε 20 στο τέλος

Και 'μααας ρε, διακοπές μας πέθαινε/με πεθαίνει! Κάτω από το φως των κεριών της Ανάστασης / των xmas lights λύνουμε για να προλάβουμε τόσες που είναι!

Όοοχι!Ο κύριος Γεράσιμος είναι παντρεμένος με την Ιωάννα!Που είναι ΘΕΑ και την αγαπώ!Έχουν και 2 παιδιά!Όταν τον πρωτογνώρισα ήταν έγγυος στο πρώτο και τώρα,τον Οκτώβρη βάφτισαν το δεύτερο παιδί τους!Ξέρω και την πεθερά του!

Πάω να φέρω μια ευθεία που πέρναγε από ένα συγκεκριμένο σημείο.
Η ευθεία βγαίνει εντελώς καμπύλη
Νικολέτα,εμ έχεις απορρίψει την αρχιτεκτονική,έτσι;